世界杯与数学
美丽的足球世界（第二部分）
上图是2018年俄罗斯第21届世界杯官方用球。2017年11月9日，国际足联与阿迪达斯联合宣布，本届世界杯官方用球为“18”，即“”，如上图所示。两天后，世界杯将在俄罗斯拉开帷幕。借此机会，我也凑个热闹，介绍一下世界杯足球设计与数学的关系，很有意思。
事实上，名为“”的世界杯用球最初就是这样的。
这种足球图案是1970年墨西哥世界杯上使用的，是根据世界杯组委会的委托精心设计的。由于这是比赛第一次在电视上转播，所以这个足球被命名为“”（），当时的电视是黑白两色的，所以这种黑白相间的足球非常适合在电视上观看。后来世界杯使用的很多足球都是在这个基础上演变而来的。今年的第21届世界杯则沿用了“”这个名字。我猜可能是因为这次世界杯使用的球的外观和这种现代最常用的足球非常相似，都是黑白两色，都有12个黑色的方块。但其实如果深入研究就会发现，从数学的角度看，它们的外观结构有很大的不同。
我在 2016 年 1 月 30 日发了一篇关于足球的文章，介绍了现代黑白足球是如何设计的。我猜阿迪达斯一定是聘请了数学专家或团队来设计的。就是下面的链接。你可以点击它，阅读它，然后返回这里继续阅读这篇文章。
这篇文章给出了现代足球的数学原型，它是由12个黑色正五边形和20个白色正六边形组成的——截角二十面体，是十三个阿基米德立体之一。你可以链接到我的文章：阅读它。
两年前，我写过一篇关于世界杯比赛用球外观变化的文章，分析了2006年德国世界杯使用的“Team Star”球外观的数学结构。两年多过去了，已有成千上万的新朋友关注了我的公众号。这些新朋友肯定没有读过那篇文章，所以我想，趁着2018年世界杯即将开始之际，借此机会再次呈现给大家。那么，在这篇文章的最后，我将谈谈本届世界杯比赛用球的数学结构。
我不打算介绍每一届世界杯足球的外观，因为网上都能找到。我只对历届世界杯使用的足球做一个总结（见下图）。很明显，足球的外观一直在不断改进。毕竟它是世界上最大的球类运动。此外，各种杯赛，如欧洲杯、美洲杯、亚洲杯、非洲杯等重大足球赛事，也使用了许多外观各异的足球。
（本文大量图片来自百度，在此表示诚挚的感谢！）
我关注的是数学，以及探索足球中隐藏的数学之美。
下面放几张图，让大家尽情领略足球的绚丽与丰富。第一张是2006年德国世界杯的专用足球：“Team Star”。我猜它象征着“德国坦克”严谨的团队精神，很符合德国的哲学与交响乐。如下图所示。
下面这个是2010年南非世界杯使用的比赛用球，名为“世界的庆典”。
下面这个是2014年巴西世界杯使用的比赛用球，名为“桑巴荣耀”。
看到这么漂亮的足球，我都想收藏一个，怎么忍心用脚去踢呢？
梅西一定要踢足球！看下面这张图片，梅西抱着一个足球，他一定很爱足球。谁能想到，这位伟大的足球明星小时候患有侏儒症？当初西班牙队邀请他踢足球时，很多人反对，但后来事实证明，那些坚持聘请他的人是对的！
回到数学。那么，2006 年世界杯用球与数学有什么关系呢？我做了一些研究，想与大家分享。
我们知道，1970年推出的黑白足球，是由12块正五边形的黑色皮革和20块正六边形的白色皮革拼接而成，一共32块。而上图中的“队星”，既没有正五边形，也没有正六边形。那么，上面的图案是怎么来的呢？我们仔细想一想，这些像数字“8”、“脚印”、“鞋垫”、“泳镜”，又像无穷大符号“∞”的金色图案，是怎么来的呢？它们和黑白足球有什么联系吗？好，我们一起来对比一下这两种足球。如下图所示。
观察上图两种足球，右图是经典的现代足球，一共有 12 个黑色正五边形。左图中的每个“脚印”（我认为数字“8”和无穷大“∞”数学味最浓，但下文我还是会用“脚印”来指代这个形状，因为足球是用脚踢的）相当于“盖住”了右图的两个黑色正五边形和中间的空隙。六个“脚印”刚好盖住 12 个正五边形。如下图所示。
“团队之星”的六个“足迹”中，只要是相邻的“足迹”就相互垂直，不相邻的“足迹”则相互平行。六个“足迹”，每两个一组，又可以分成三组。每组中的两个“足迹”方向相同，不相邻，位于球体的相对两侧，呈镜像对称。如果把每个“足迹”简化成一条线段，那么每组中的两条线段就位于同一平面上，相互平行，关于某个平面对称。这样，三组“足迹”就可以确定三个平面，这三个平面相互垂直。就如同空间直角坐标系中的三个坐标平面：xy平面、yz平面、zx平面。如下图所示。
经典黑白足球中的 12 个黑色正五边形的位置相同，且每三个正五边形都位于一个等边三角形的顶点（这是很自然的，因为足球的原始形状就是截角二十面体，也就是截角二十面体，而二十面体周围有 20 个正三角形）。因此，“球队之星”自然具备此属性。如下图所示。
这六个“脚印”既是中心对称的，又是轴对称的，它们在“队星”身上的位置是等价的。也就是说，“队星”足球是空间对称的。我们可以让足球绕着球心旋转，这样某个“脚印”的位置也可以被其他五个“脚印”占据，这样就形成了旋转，但效果看上去好像没有旋转一样。这是非常完美的对称（这里面涉及到对称群的知识，本公众号也有介绍）。“队星”的完美对称性当然是源于“电视之星”的完美对称性。“电视之星”的完美对称性来自于阿基米德十三面体之一的“截角二十面体”。把数学上阿基米德立体中的“截角二十面体”运用到足球上，真是一件了不起的事情。 每四年举办一次的世界杯是全球球迷的盛会，足球的外形不可能永远一成不变，而基于“截头二十面体”设计的黑白足球，让足球外形的设计产生了极其丰富的变化，数学做出了巨大的贡献！
这一期的内容比较多，因为想到什么就说出来，请大家耐心看完！谢谢！
在黑白足球“电视之星”中，每个正五边形周围都有五个正五边形，而这六个正五边形加起来总能位于足球的某个半球。下图右图中，正五边形1周围有五个正五边形2、3、4、5、6。如果把五边形1比作地球的北极，那么六个正五边形1、2、3、4、5、6一定都位于北半球。而其他六个正五边形一定位于南半球。
这六个黑色正五边形中，哪两个可以连在一起形成“脚印”，哪两个不可以连在一起是规则的，不是任意的。必须有两个互相垂直的“脚印”（如上图中的红色和绿色）“踩”在两个黑色正五边形上，这样四个黑色正五边形（上图中的1号和2号；4号和5号）被占据，还剩下两个黑色正五边形（3号和6号），它们分别是另外两个不同方向的“脚印”的一半（上图中的蓝色）。这里，1号和2号组成了一个“脚印”，所以下一个一定是4号和5号，3号和4号或者5号和6号不可能组成“脚印”。 上右图中，1号和6号也能组成“脚印”，所以一定是3号和4号组成了“脚印”。如果你发现任何一个“脚印”位于“球队之星”足球的半球内，它们之间的关系一定是这样的。
下图中，我们给足球添加了一个空间直角坐标系，坐标系原点在球的中心。这样，六个“脚印”的位置就一目了然了。我们还在球体和坐标平面之间画了一些交线（黄色部分）。这样，我们就得到了球体在第一象限（一个球面三角形）内的部分。
在这个球面三角形中，有三个“脚印”的部分（四分之一），我们忽略它们，只考虑去掉这三部分之后剩下的部分。这部分是由一整块皮革制成的（当然要留出一边用于缝合或者粘合）。如下图所示。
“团队之星”足球有八块这种形状的皮革（其中四块相同，另外四块为镜像对称）。加上六个“脚印”，一共有14块皮革。这个数量比黑白足球使用的皮革片数（32块）少了18块。能够用尽可能少的片数进行设计，是更高层次的设计，需要更高水平的生产技术。另外，前面提到的每一块皮革在制造时都被做成了曲面，而不是平面。因此，“团队之星”的造型更加圆润。
在这篇文章中，我将2006年德国世界杯用球归结为数学阿基米德立体中的“截角二十面体”，但我只是从外观上研究了它。如果从皮片数量上研究，显然“团队之星”（14片）和“”（32片）是完全不一样的。从皮片数量和每片皮片在球上的位置来看，“团队之星”应该对应阿基米德立体中的“截角八面体”。观察下图，你能看出吗？从位置上看，6个“脚印”对应下图中浅绿色的面，另外8个白色皮片对应8个深绿色的正六边形面。
这期的内容很多，涉及到很多数学。本期的2006世界杯足球的“脚印”和黑白足球上的黑色正五边形的关系是我自己观察和自己创作的，我通过观察各种足球图片想象出来的，后来我从网上买了一个黑白足球，验证了我的观察和上面的研究是正确的。下图是我买的足球。
最后我想说一下本届世界杯比赛用球的数学结构，也被称为“”。
它由六块相同的皮革制成。每块皮革的外观如下图所示。
这个图案在足球上的什么位置？请参见下面的图片，我已将其标记出来。
它是由四个大写字母“F”组成的中心对称形状。F 代表“ ”。您在上图中找到了四个“F”吗？我将这种形状称为“4F”形状。
我们知道，立方体有六个方形面，它们有三对是相互面对的。我们来看看这个新足球的球面，上图中带红边的“4F”形状正对着我们。足球的左右两侧各有一个这样的形状，上下各有一个，背面也各有一个，一共有六个。这六个的位置和立方体的六个面是重合的。所以，本届世界杯使用的足球外观的数学原型就是一个简单的立方体。
每一块“4F”图案的皮革都有四个小块被涂成黑色（我还没搞清楚是什么意思），都是直角梯形，其中两个还有锯齿状的腰部。六块“4F”图案的皮革拼成球体后，相邻的两块各自在相邻的位置贡献一个梯形，相互交叉，看上去就像一个黑色的六边形。所以，看上去一共有12个黑色方块。这12个黑色六边形就像是“跨”在了魔方的12条边上。上图是4个黑色方块面向我们，图中隐约可见另外4个黑色方块。球的背面应该还有4个。一共有12个。
12这个数字，与现代足球上的黑色正五边形数量相同，都是12个，因此，两个足球具有相似之处。
